図1 |
底面が半径 r の円で高さが r の円柱から,半径r の半球を取り除いた立体の体積を考えよう。 このページでは,この立体を K とします。 |
図2 |
底面から高さ x のところで円柱を水平に切り,上部を取り除くと左図のような立体になります。 黄色の直角三角形で三平方の定理を用いると,球の断面である円の半径は, であることが分かります。 |
図3 |
上図(図2)の立体を真上から見ると左図のようになり,立体
K の断面は,青色の部分,つまり,2個の同心円の間です。 により, この青色の部分の面積は, です。 |
図4 |
半径 x の円の面積も ですから,左図の円は,上図(図3)の青色の部分を等積変換したものであると言えます。 |
図5 |
次に,高さx での断面が半径x の円になるように,この円を左図のように積み重ねていきます。 積み重ねていく過程は,図6を見てください。 |
図6 |
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その結果,右図のような円錐になります。 また,この円錐は,底面が半径 r の円で,高さが r の直円錐ですから,体積は です。 さらに,この円錐と立体 K では,同じ高さでの断面積が等しいので,この円錐の体積と立体 K の体積は等しくなります。 したがって,立体 K の体積も です。 |
図7 |
また,円柱の体積は ですから, により, 半球の体積は となります。 |
図8 |