図１
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底面が半径 r の円で高さが r の円柱から，半径r の半球を取り除いた立体の体積を考えよう。 このページでは，この立体を Ｋ とします。 |
図２ |
底面から高さ x のところで円柱を水平に切り，上部を取り除くと左図のような立体になります。 黄色の直角三角形で三平方の定理を用いると，球の断面である円の半径は，  であることが分かります。 |
図３
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上図(図２)の立体を真上から見ると左図のようになり，立体
Ｋ の断面は，青色の部分，つまり，２個の同心円の間です。 により，この青色の部分の面積は，  です。
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図４
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半径 x の円の面積も ですから，左図の円は，上図(図３)の青色の部分を等積変換したものであると言えます。 |
図５
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次に，高さx での断面が半径x の円になるように，この円を左図のように積み重ねていきます。 積み重ねていく過程は，図６を見てください。 |
図６
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その結果，右図のような円錐になります。 また，この円錐は，底面が半径 r の円で，高さが r の直円錐ですから，体積は  です。さらに，この円錐と立体 Ｋ では，同じ高さでの断面積が等しいので，この円錐の体積と立体 Ｋ の体積は等しくなります。 したがって，立体 Ｋ の体積も です。
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図７
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また，円柱の体積は  ですから， により，半球の体積は  となります。
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図８
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